### [Урок 2. Дискретные распределения вероятностей](https://gb.ru/lessons/447654)

> Формула Бернулли позволяющая находить **вероятность появления события A определённое количество раз при любом числе независимых испытаний.**
В результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы; вероятность появления события А в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Вероятность появления события А в единичном испытании $P(A)=p$, тогда вероятность противоположного события (событие А не наступило) $q=1−p$.
Можно точно подсчитать число «удачных» комбинаций исходов испытаний, для которых событие A наступает k раз в n независимых испытаниях — в точности это количество сочетаний из n по k:
$C^k_n=\frac {n!}{k!(n-k)!}$
В то же время, так как все испытания независимы и их исходы несовместимы (событие A либо наступает, либо нет), то вероятность получения «удачной» комбинации в точности равна $p^{k}q^{n-k}$, количество «удачных» комбинаций равно $C_{n}^{k}$, поэтому окончательно получаем:

$$ P_n(k)=C^k_n × p^k × q^{n-k}$$

> В том случае, если вероятность наступления события очень маленькая  (< 0.1), а число испытаний очень большое, чтобы найти вероятность наступления события за фиксированную единицу измерения или **вероятность, что событие наступит $m$ раз из $n$**, применяем формулу Пуассона. Распределение Пуассона это также дискретное распределение и является частным случаем биномиального распределения. Эта формула дает более точные значения вероятности в такой ситуации.

$$ P_m≈\frac{\lambda^m}{m!} × e^{-\lambda} $$

> Здесь появляется величина $\lambda$. Это средняя интенсивность наступления события на некоторую единицу измерения. $\lambda=n p$
Ноль факториал $0!=1$, а значит, формула имеет смысл и для $m=0$.

> Числом $k_0$​, которому при заданном n соответствует **максимальная биноминальная вероятность $P_n(k_0)$**, называется наивероятнейшим числом появления события А.

> При заданных n и p это число определяется неравенствами:
> $n×p−q <= k_0 <= n×p+p$
где:
    n — общее количество испытаний,
    p — вероятность успеха в каждом испытании.
    q — вероятность противоположного события



#### Задание 1

Найдите математическое ожидание случайной величины X, распределенной
по биномиальному закону с параметрами n=100, р=0.3

> $$E(X)=n×p$$
Где:
    n — количество испытаний,
    p — вероятность успеха в каждом испытании.
В данном случае: $100 × 0.3 = 30$

#### Задание 2

Найти среднее квадратичное отклонение случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону с параметрами n=50, p=0.6

> $$σ=\sqrt{n×p×(1−p)}$$
Где:
    n — количество испытаний,
    p — вероятность успеха в каждом испытании.
В данном случае: $σ=\sqrt{50×0.6×(1−0.6)}=\sqrt{12}$​

#### Задание 3

Вероятность события А в каждом независимом испытании 0.0015. Какова вероятность
того, что при 2000 испытаниях событие А появится 3 раза.

> Для нахождения вероятности того, что событие A появится ровно 3 раза в 2000 независимых испытаниях, можно использовать приближение с помощью распределения Пуассона, поскольку вероятность события p очень мала, а количество испытаний n велико.

> $$ P_m≈\frac{\lambda^m}{m!} × e^{-\lambda} $$

> $n = 2000$
$p = 0.0015$
$m = 3$

> Вычисление параметра $\lambda$
$\lambda=np=2000×0.0015=3$

>$P(m=3)=\frac{\lambda^m e^{-\lambda}}{m!}=\frac{3^3 e^{-3}}{3!}≈0.2241$

#### Задание 4

Определить наиболее вероятное число выпадений герба при 25 подбрасываниях монеты

> $$n×p−q <= k_0 <= n×p+p$$

> $q = 0.5$
$p = 1 - 0.5 = 0.5$

> $25 × 0.5-0.5 <= k_0 <= 25  × 0.5 + 0.5$
$12 <= k_0 <= 13$
$k_0 \in [12; 13]$

#### Задание 5

Вероятность рождения мальчиков 0.515. Найти наивероятнейшее число девочек из 600 новорожденных

> $$n×p−q <= k_0 <= n×p+p$$

> $q = 0.515$
$p = 1 - 0.515 = 0.485$
$n=600$

> $600×0.485-0.515 <= k_0 <= 600×0.485 + 0.485$
$290.485 <= k_0 <= 291.485$
$k_0 = 291$

#### Задание 6

Сколько раз надо подбросить игральный кубик, чтобы наивероятнейшее число выпаданий тройки было 30?

> $$n×p−q <= k_0 <= n×p+p$$

> $q =  \frac 5 6$
$p = \frac 1 6$
$k_0=30$

> $n × \frac 1 6 - \frac 5 6 <= 30 <=n ×  \frac 1 6 + \frac 5 6$
$n-5 <= 180 <= n+5$
$n\in[175 \dots 185]$

#### Задание 7

Подбрасывают 4 одинаковые монеты. Какова вероятность, что решка выпадет не более 1 раза?

> $$ P_n(k)=C^k_n × p^k × q^{n-k}$$

> $p = 0.5$
$q = 1 - 0.5 = 0.5$

> Условию удовлетворяет два варианта (решка выпадет 1 или 0 раз)

> $P_4(1) = C^1_4 × 0.5^1 × 0.5^{4-1} = 0.25$

> $P_4(0) = C^0_4 × 0.5^0 × 0.5^{4-0} = 0.5^4 = 0.0625$

> Ответ: $P_4(1) + P_4(0) = 0.3125$

#### Задание 8

Какова вероятность наступления события А в каждом отдельном испытании, если наивероятнейшее число наступления события А в 120 испытаниях составило 32?

> $$n×p−q <= k_0 <= n×p+p$$

> $n = 120$
$k_0=32$
$q=1-p$

> $ 120p-(1-p) <= k_0 <= 120p+p $
$ 121p >= 32 $
$ p\in[\frac {32}{121}; \frac {33}{121}]$

#### Задание 9

Найти вероятность, что среди взятых наугад 5 деталей 2 стандартные, если вероятность детали быть стандартной равна 0.9?

> $$ P_n(k)=C^k_n × p^k × q^{n-k}$$

> $n=5$
$k=2$
$p = 0.9$
$q = 1 - 0.9 = 0.1$

> $ P(2)=\frac {5!}{2! × (5-2)!} × 0.9^2 × 0.1^{(5-3)} = 0.0081$
